مكانيك آماري
نخستين نظريهي فيزيكي بنيادي بود كه مفاهيم آماري و تبيين احتمالاتي در
آن نقشي بنيادي ايفا كردند.
اين رشته فرصتي ارزنده در اختيار فيلسوفان
قرار داد تا آراء خود را در بارهي معناي احكام احتمالاتي و نقش احتمال در
تبيين، با آن چه در صورت ورود احتمالات به يك نظريهي فيزيكي بنيادي در
عمل روي ميدهد مقايسه كنند. تبييني كه مكانيك كوانتومي
از عدم تقارن در زمان فرآيندهاي فيزيكي ارائه ميكند نيز در تلاش فيلسوف
براي فهم عدم تقارنها در عليت و زمان نقش مهمي ايفا ميكند.
1- طرح تاريخي
از قرن هفدهم به بعد دريافته شد كه سيستمهاي مادي را اغلب ميتوان با
پارامترهاي معدودی توصيف كرد كه به اين يا آن طريق سادهي قانونمانند به
هم مرتبطند. اين پارامترها به ويژگيهاي هندسي، ديناميكي و گرمايي ماده
مربوط میشدند. نمونهي اين گونه قوانين، قانون گازهاي ايدهآل بود كه
حاصلضرب فشار و حجم گاز را به دماي گاز مربوط ميساخت.
به زودي دريافته شد كه مفهوم بنيادي، مفهوم تعادل است. اگر سيستمها به
حال خود رها شوند مقادير پارامترهاي خود را آن قدر تغيير ميدهند تا به
اين حالت يعني حالت تعادل برسند و ديگر تغييري مشاهده نميشود. به علاوه،
آشكار گرديد كه اين ميل خودبخودي به تعادل، فرآيندي است كه از لحاظ زماني
نامتقارن است. مثلاً، دماهاي نايكنواخت آن قدر تغيير ميكنند تا يكنواخت
شوند. همين فرآيند «يكنواختسازي» در مورد چگاليها نيز روي ميدهد.
مطالعات عميق اس. كارنو (S. Carnot) در مورد امكانِ گرفتن كار فيزيكي از
موتورها به واسطهي اختلاف دماي ميان ديگ جوش و كندانسور موجب گرديد كه
آر. كلاسيوس (R. Clausius) يكي از پارامترهاي مهمِ توصيفكنندهي سيستم
مادي، يعني انتروپي آن را مطرح سازد. وجود اين مجموعهي سادهي پارامترها
را براي توضيح ماده و قواعد قانونمانندي كه آنها را به هم مرتبط
ميساختند، چگونه بايد توضيح ميدادند؟ اين كه محتوي گرماي جسم، شكلي از
انرژي است كه ميتوان به كار مكانيكي تبديل كرد همان گونه كه كار مكانيكي
را ميتوان به گرما تبديل كرد، يك اصل بنيادي بود. عدم توانايي سيستم
منزوي به رفتن به حالتي منظمتر، به پايين آوردن انتروپي خود، اصل ديگري
بود. اما چرا اين اصول درست بودند؟
يك رويكرد، رويكرد پي. دوئم (P. Duhem) و اي. ماخ (E. Mach) و
انرژيگرايان (energeticists)، تأكيد بر اين امر بود كه اين اصول، قوانين
پديدارشناختي مستقلي هستند كه به بنيان ديگري در اصول فيزيكي ديگر نيازي
ندارند. رويكرد بديل طرح اين دعوي بود كه انرژياي كه به شكل محتوي گرما
در جسم ذخيره ميشود، انرژي حركت ذرات تشكيلدهنده، پنهان و ميكروسكوپي
جسم است؛ اين رويكرد تأكيد داشت كه قوانين ذكر شده يعنی اصول ترموديناميك
را بايد بر اساس وضع شيء ماكروسكوپي، اجزاء آن و قوانين ديناميكي بنياديِ
حاكم بر حركت اين اجزاء توضيح داد. اين نظريهي جنبشي گرما است.
كارهاي اوليهاي كه دابليو. هيرپث (W. Herepath) و جِي واترستون (J.
Waterston) بر روي نظريهي جنبشي انجام دادند اساساً ناديده گرفته شد، اما
كار ا. كرونيگ (A. Krönig) نظريهي جنبشي را به موضوعي زنده در فيزيك
تبديل كرد. جِي. سي ماكسول (J. C. Maxwell) با استنتاج قانوني براي توزيع
سرعت مولكولهاي گاز به هنگام تعادل از چند اصل ساده، موجب پيشرفتي چشمگير
گرديد. هم ماكسول و هم ال. بولتزمن (L. Boltzmann) كار را پيشتر بردند و
به شيوههاي مختلف، اما مرتبط، معادلهاي براي نزديك شدن گاز به حالت
تعادل به دست آوردند. پس از آن ميشد نشان داد که توزيع حالت تعادل، كه
قبلاً ماكسول يافته بود، جواب ايستاي اين معادله است.
اين كارِ نخستين با انتقاداتي روبرو شد. اچ. پوانكاره (H. Poincaré)
قضيهاي برگشتي را براي سيستمهاي ديناميكي مقيد اثبات كرده بود كه به نظر
ميرسيد با ميل يكنواخت به حالت تعادل كه در ترموديناميك مطرح بود در
تناقض باشد. قضيهي پوانكاره نشان ميدهد كه هر سيستمي كه طوری مقيد باشد
كه انرژي در آن پايستار باشد، لزوماً و در طول زمان نامتناهي، به دفعات
نامتناهي به حالتهايي باز ميگردد كه به طور دلخواه به حالت ديناميكي
اوليهاي كه سيستم از آن آغاز شده بود، نزديك است. جِي. لوشميت (J.
Loschmidt) ادعا ميكرد كه برگشتناپذيري زمان در ترموديناميك با تقارن
تحت وارونگي زمانِی در ديناميك كلاسيك كه فرض ميشد بر حركت اجزاء مولكولي
شيء حاكم است، ناسازگار است.
ماكسول و بولتزمن، تا حدي به دليل نياز به پاسخ به اين انتقادات، به تدريج
مفاهيم صراحتاً احتمالاتي را در نظريه وارد كردند. هر دو دريافتند كه
مقادير تعادل براي كميتها را ميتوان با تحميل توزيع تعادل بر حالتهاي
ديناميكي ميكروسكوپي سازگار با قيدهايي كه بر روي سيستم گذاشته شده و
برابر قرار دادن مقادير مشاهدهشدهي ماكروسكوپي با ميانگينهايي كه روي
اين كميتها گرفته شده و با استفاده از توزيع احتمال با حالتهاي
ميكروسكوپي قابل تعريفند، محاسبه كرد. اما توجيه فيزيكي اين روش چه بود؟
در عين حال هر دو ادعا ميكردند كه تحول به سوي حالت تعادل را هم كه در
نظريهي عدم تعادل خواسته ميشود ميتوان به طور احتمالاتي فهميد. ماكسول،
با مطرح ساختن مفهوم «شيطانكي» كه ميتوانست در حالتهاي ميكروسكوپي سيستم
دستكاري كند، ادعا كرد كه قانون افزايش انتروپيك تنها به طور احتمالاتي
معتبر است. بولتزمن روايتي احتمالاتي از معادلهي خود ارائه كرد كه نزديك
شدن به حالت تعادل را توصيف ميكرد. اما اگر خوب دقت نكنيم باز هم ممكن
است تصوير بولتزمن با انتقادات مبتني بر برگشت و برگشتپذيري به شيوهي
احتمالاتي روبرو باشد.
بولتزمن در اواخر عمر خود با ارائهي تفسيري از نظريه كه زمان در آن
متقارن است به انتقادات پاسخ داد. سيستمها تقريباً هميشه به طور
احتمالاتي به حالت تعادل نزديك بودند. اما ميشد انتظار اغتشاشهاي گذار
به حالتهاي عدم تعادل را داشت. سيستم در هر زمان كه در حالت عدم تعادل
قرار ميگرفت به احتمال بسيار هم بعد و هم قبل از آن، حالت سيستم به تعادل
نزديك بود. پس چرا ما در جهاني زندگي ميكنيم كه به حالت تعادل نزديك
نيست؟ شايد فضا و زمان در جهان بسيار گسترده است و ما در بخش «كوچكِ»
اغتشاشي و غيرتعادلي آن زندگي ميكنيم. ما فقط در چنين بخش «نامحتملي» از
جهان ميتوانيم باشیم، زيرا فقط در چنين ناحيهاي موجودات داراي حس وجود
دارند. چرا مشاهده میکنیم که انتروپي در راستای آينده افزايش مييابد اما
نه در راستای گذشته؟ پاسخ این بود كه درست همان گونه كه مراد ما را از سوي
پايينِ فضا راستاي موضعي گرانش تعريف ميكند، آن راستاي موضعي در زمان كه
در آن انتروپي افزايش مييابد آن چه را ما راستاي آيندهي زمان تلقي
ميكنيم، تعيين ميكند. پي. و تي. اهرنفست (P. and T. Ehrenfest) نيز در
اثر مهمي (كه در كتابشناسي ذكر شده است)، روايتي از معادلهي بولتزمن براي
نزديك شدن به حالت تعادل ارائه كردند كه از ايرادات برگشتي دوري ميكرد.
در اين روايت تصور ميشد كه جواب معادله نه «تحول بسيار محتمل» سيستم كه
زنجيرهاي از حالتها را توصيف ميكند كه در زمانهاي مختلف در مجموعهاي
از سيستمها غالبند و همه با شرايط غيرتعادلي يكساني آغاز شدهاند. هر چند
هر سيستم منفرد تقريباً به شرايط اوليهي خود باز ميگشت، اما باز هم اين
«منحني تمركز» (concentration curve) ميتوانست تغييري يكنواخت به سوي
حالت تعادل از شرط عدم تعادل اوليه را نشان دهد.
بسياري از مباحث فلسفي در مكانيك آماري
حول مفهوم احتمال به شكلي كه در اين نظريه پديدار ميگردد، متمركز هستند.
اين احتمالها را چگونه بايد درك كرد؟ انتخاب يك توزيع احتمال را به جاي
توزيع ديگر، چه امري توجيه ميكند؟ از اين احتمالها در پيشبيني در درون
نظريه چگونه بايد استفاده كرد؟ براي ارائهي تبيينهايي براي پديدههاي
مشاهده شده چگونه بايد از آنها استفاده كرد؟ و خود توزيعهاي احتمال
چگونه تبيين ميشدند؟ يعني، ماهيت آن جهان فيزيكي كه موجب ميشود
احتمالهاي صحيح نقش موفقي را كه در نظريه دارند ايفا كنند، كدام است؟
2. آراء فيلسوفان در بارهي احتمال و تبيين آماري
فيلسوفاني كه به تفسير احتمال مشغولند معمولاً با این پرسش سر و کار دارند:
احتمال با چند قاعدهي صوري مشخص ميشود كه جمعپذيري احتمالها براي
مجموعههاي مستقل امكانها، محوريترين آنها است. اما نظريهي صوري را
بايد نظريهي چه چيزي تلقي كنيم؟
برخي از تفسيرها «عينگرايانه» هستند و احتمال را شايد فراواني برآمدها
يا حدود آرمانيشدهي چنين فراوانيهايي يا شايد اندازهي «تمايل» يا
«گرايش» برآمدها در وضعيتهاي آزمايشي مشخصشده تلقي ميكنند. تفسيرهاي
ديگر «ذهنگرايانه»اند و احتمال را اندازهي «درجهي باور» ميدانند كه
شايد گواه آن رفتار در وضعيتهاي مخاطرهآميز و انتخاب قرعههاي در دسترس
از ميان برآمدها باشد. در تفسيری ديگري احتمال را اندازهي نوعي
«استلزامِ تا حدي منطقي» در ميان گزارهها ميدانند.
هر چند تفسيرهاي ذهنگرايانه (يا منطقي) هم براي احتمال در مكانيك آماري
پيشنهاد شده است (مثلاً از سوي اي. جينز (E. Jaynes)) اما اغلب مفسران به
تفسير عينگرايانه از احتمال تمايل دارند. اما اين هم پرسشهاي مهمي را در
اين باره بيپاسخ ميگذارد كه احتمالهاي مفروض كدام ويژگي «عيني» نظريه
هستند؟ و طبيعت براي آن كه چنين احتمالهايي را در رفتار خود نشان دهد چه
تدبيري ميكند؟
فيلسوفاني كه با تبيين آماري سر و كار دارند معمولاً به كاربردهاي
روزمرهي احتمال در تبيين يا كاربرد تبيينهاي احتمالاتي در رشتههايي
مانند علوم اجتماعي توجه دارند. گاهي گفته شده است كه تبيين احتمالاتي
برآمد یعنی نشان دادن اين كه احتمال آن هست که برآمد با توجه با حقايق
زمينهاي جهان روي داده است. در موارد ديگري گفته شده است كه تبيين
احتمالاتي برآمد، ايجاد حقايقي است كه احتمال آن برآمد را نسبت به وضعيتي
كه آن حقايق ناديده گرفته ميشوند، بالا ميبرد. ديگران ميگويند تبيين
احتمالاتي نشان دادن اين است كه رويداد، برآمد علّي ويژگياي از جهان بوده
است كه خود آن ویژگی با گرايش علّي احتمالاتي مشخص ميگردد.
الگوهاي تبييني مكانيك آماري
عدم تعادل، تحول ويژگيهاي ماكروسكوپي ماده را در الگوي احتمالها روي
تحولهاي ميكروسكوپي ممكن قرار ميدهند. در اين جا انواع تبيين ارائه شده
در مدلهاي فلسفي سنتي قرار ميگيرند. پرسشهاي بيپاسخ اصلي به زمينههاي
تبييني كه در فراسوي احتمالها قرار دارند، مربوط ميشوند. در نظريهي
تعادل، همان گونه كه خواهيم ديد، الگوي تبييني آماري داراي ماهيت نسبتاً
متفاوتي است.
3. نظريهي تعادل
روش استانده براي محاسبهي ويژگيهاي سيستمي كه از نظر انرژي منزوي و در
حالت تعادل است از سوي ماكسول و بولتزمن پديد آمد و جِي گيبز (J. Gibs) آن
را به مثابهي مجموعهی بندادي کوچکی (microcanonical ensemble) توسعه
داد. در اين جا توزيع احتمال بر روي مجموعهاي از حالتهاي ميكروسكوپي
تحميل ميشود كه با قيدهاي خارجيِ تحميلشده بر روي سيستم سازگارند. با
استفاده از اين توزيع احتمال، مقادير متوسط توابع مشخصشدهي شرايط
ميكروسكوپي گاز (ميانگينهاي فاز) محاسبه ميشوند. اينها را با شرايط
ماكروسكوپي برابر ميگيرند. اما تعداد معادلات افزايش مييابد: چرا اين
توزيع احتمال؟ چرا مقادير متوسط براي شرايط ماكروسكوپي؟ ميانگينهاي فاز
چه ربطی به ويژگيهاي اندازهگيري شدهي سيستم ماكروسكوپي دارند؟
بولتزمن مقادير متوسط را برابر با ويژگيهاي ماكروسكوپيكي تلقي ميكرد كه
خود ميانگينهاي زمانيِِ مقادير قابل محاسبه از حالتهاي ميكروسكوپي
بودند. او ميخواست ميانگينهاي فاز را با اين ميانگينهاي زماني برابر
بگيرد. وي دريافت كه اگر سيستمي كه در حالتي ميكروسكوپي آغاز شده در نهايت
از تمام حالتهاي ميكروسكوپي ممكن بگذرد، ميتوان اين كار را انجام داد.
اين را فرضيهي ارگوديك ميناميدند. اما بر پايههاي توپولوژيكي و با
اندازهگيري نظري ميتوان اثبات كرد كه اين فرضیه غلط است. ادعاي ضعيفتر
نيز مبني بر اين كه سيستم در هر حالتي كه آغاز شده باشد به طور دلخواه به
هر حالت ميكروسكوپي ديگر نزديك ميشود، نادرست است و حتي اگر درست باشد
كاري را كه لازم است انجام نميدهد.
رياضيات نظريهي ارگوديك از اين آراء اوليه سرچشمه گرفت. در چه زماني
ميتوان ميانگين فاز را با ميانگين زماني بر روي زمان نامتناهي برابر
گرفت؟ جي. بيركهوف (G. Birkhoff) (با نتايج قبلي جِي. فون نيومان(J. von
Neumann)) نشان داد كه براي تمام مسيرها شايد به استثناي مسيرهايي با
اندازهي صفر (اندازهي استاندهي به كار رفته براي تعريف تابع احتمال)
چنين است اگر نقاط فاز به طور متريك تجزيهناپذير باشند، يعني اگر نتوان
آن را به بيش از يك قطعه تقسيم كرد به نحوي كه هر قطعه اندازهاي بزرگتر
از صفر داشته باشد و سيستمي كه در يك قطعه آغاز شده است هميشه به سيستمي
در همان قطعه متحول شود.
اما آيا مدل واقعگرايانهي سيستم هيچ گاه شرط تجزيهناپذيري متريك را
برآورده ميساخت؟ آن چه براي استنتاج تجزيهناپذيري متريك لازم است
ناپايداري كافي مسيرها است به نحوي كه مسيرها گروههايي با اندازهي مخالف
صفر را تشكيل ندهند كه از انحراف كافي بر روي كل ناحيهي فاز ناتوانند.
وجود ثابت پنهان، حركت تجزيهناپذيري متريك را نقض ميكرد. پس از كار زياد
و دشوار كه در نزد يا. سينايي (Ya. Sinai) به اوج خود رسيد، نشان داده شد
كه برخي از مدلهاي «واقعگرايانه»ی سيستمها نظير مدلي كه در آن گاز
چونان «كرههايي سخت در جعبه» تلقي ميشود با تجزيهناپذيري متريك انطباق
دارند. از سوي ديگر، نتيجهي ديگر نظريهي ديناميكي، قضيهي
كولموگوروف-آرنولد-موزر (Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM))، نشان ميدهد كه
مدلهاي واقعگرايانهتر (مثلاً مدل مولكولهايي كه به وسيلهي
پتانسيلهاي «نرم» اندركنش انجام ميدهند) احتمالاً از ارگوديسيتي به
معناي اكيد آن تبعيت نميكنند. در اين موارد، استدلال دقيقتر (مبتني بر
درجات آزادي متعدد در سيستم متشكل از تعداد زيادي اجزاء تشكيلدهنده) نيز
مورد نياز است.
اگر ارگوديسيتي معتبر باشد چه ميتوان نشان داد؟ ميتوان نشان داد براي
تمام مجموعهها به استثناي مجموعهاي با اندازهي صفر برای نقاط اوليه،
ميانگين زماني كميت فاز بر روي زمان نامتناهي با ميانگين فازي آن برابر
خواهد بود. ميتوان نشان داد كه براي هر ناحيهي قابل اندازهگيري، متوسط
زماني كه سيستم در آن ناحيه ميگذراند با اندازهي آن ناحيه متناسب خواهد
بود (كه با اندازهي احتمال به كار رفته در مجموعهی بندادي کوچک
اندازهگيري ميشود). جواب مسئلهاي ديگر هم مطرح خواهد شد. بولتزمن
ميدانست كه توزيع احتمال استانده با توجه به ديناميك سيستمها تحت تحول
زماني ناوردا است. اما از کجا میدانستیم كه اين تنها اندازهي ناوردا از
اين دست است؟ با ارگوديسيتي ميتوانيم نشان بدهيم كه توزيع احتمال استانده
تنها توزيعي است كه چنين ناوردا است، دست كم اگر خود را به اندازههاي
احتمالي محدود سازيم كه احتمال صفر را به هر مجموعهاي نسبت دهند كه با
اندازهگیری استانده به آنها اندازهی صفر نسبت داده شده است.
پس نوعي «استنتاج استعلاييِ» (transcendental deduction) احتمال استانده
را داريم كه در حالت تعادل، به حالتهاي ميكروسكوپي نسبت داده شده است.
تعادل حالتي است كه با زمان تغيير نميكند. بنابراين ميخواهيم اندازهي
احتمالي هم كه بايد كميتهاي تعادل را با آن اندازهگيري كرد در طول زمان
ثابت باشد. اگر فرض كنيم كه میتوان اندازههاي احتمالي كه احتمال مخالف
صفر را به مجموعهي حالتهايي نسبت ميدهند كه اندازهگيری معمولی به
آنها [احتمالِ] صفر را نسبت ميدهد ناديده گرفت، آن گاه ميتوانيم نشان
دهيم كه احتمال استانده تحت ديناميكي كه سيستمهاي منفرد را از اين حالت
ميكروسكوپي به حالتي ديگر ميبرد تنها احتمال ناوردا از اين دست است.
اما بسياري از نكات در مورد «دليلي» كامل براي مكانيك آماريِ
تعادل استانده محل ترديد باقي مانده است. اين مسئله وجود دارد كه
ارگوديسيتي در مورد سيستمهاي واقعگرايانه درست نيست. اگر، چنان كه
بولتزمن اميدوار بود، كسي تلاش كند بر مبناي اين حقيقت كه اندازهگيريهاي
ماكروسكوپي در مقياس مولكولي «وقت زيادي» ميگيرد، از برابر نهادن
ميانگينهاي فاز با كميتهاي اندازهگيري شده به مثابهي دليل استفاده كند
با مسائل زيادي روبرو ميشود. اين حقيقت كه تمام نتايج ارگوديك كه به طور
رياضي درست هستند به چشمداشت «مجموعههايی با اندازهي صفر» وابستهاند،
مسائلي را مطرح ميسازد. از نظر فيزيكي آن چيست كه ناديده گرفتن مجموعهاي
از مسيرها را فقط به دليل آن كه در اندازهگیری استانده داراي اندازهي
صفر است، درست ميسازد؟ بالاخره، هنگامي كه در واقع ثابتهاي پنهان و
عمومي حركت وجود داشته باشند، اين ناديدهانگاري به پيشبينيهايي
ميانجامد كه به طرزي فاجعهبار نادرست هستند. در اثبات اين كه اندازهي
استانده به طور منحصر بفرد ناوردا است، چرا حق داريم اندازههاي احتمالي
را ناديده بگيريم كه احتمالهاي مخالف صفر را به مجموعهي شرايطي نسبت
ميدهند كه در اندازهگیری استانده به آنها احتمال صفر نسبت داده شده
است؟ بالاخره، در ابتدای کار، استفاده از همين اندازهگیری استانده بود كه
تلاش ميكرديم آن را توجيه كنيم.
در هر حال، نظريهي تعادل به مثابهي رشتهی علمي مستقل گمراه كننده است.
دست آخر، آن چه ما ميخواهيم بررسي تعادل در زمينهي عدم تعادل است. ما
مايليم، با تلقي تعادل به مثابهي «نقطهي پايان» اين تحول ديناميكي،
بفهميم چگونه و چرا سيستمها از حالت ماكروسكوپيكي که در آغاز ثابت بوده
متحول ميشوند. بنابراين اگر خواهان درك كاملتري از اين امر باشيم كه اين
نظريهي احتمالاتي در فيزيك چگونه كار ميكند، بايد رو به تبيين عمومي عدم
تعادل بياوريم.
4. نظريهي عدم تعادل
بولتزمن معادلهاي به نام خود براي تحول توزيع سرعت ذرات از حالت عدم
تعادل اوليه براي گازهاي رقيق ارائه كرد. معادلات ديگري براي انواع ديگر
سيستمها يافته شده است، هر چند تعميم آنها به گازهاي چگال دشوار بوده
است. تمام اين معادلات را معادلات جنبشي مينامند. آنها را چگونه ميتوان
توجيه و تبيين كرد؟ در بحثهاي مربوط به مسئلهي برگشتناپذيري كه به
دنبال كار بولتزمن مطرح شد، توجه بر يك فرض بنياديِ وي متمركز بود:
فرضيهي مربوط به تعداد برخوردها. در اين فرض كه در آن تقارن زماني رعايت
نشده بود، فرض گرديده بود كه حركتهاي مولكولها در گاز قبل از برخورد
مولكولها به طور آماري ناهمبسته است. در استنتاج هر معادلهي جنبشي
ديگري بايد فرض مشابهي كرد. برخي از روشهاي عمومي براي استنتاج اين
معادلات، رويكرد معادلهي اصلي و رويكردي است كه بر تقریب فضاي فازِ نقاط
نشاندهندهي ميكروحالتهاي سيستم به سلولهاي متناهي و فرض احتمالهاي
گذار ثابت از سلولي به سلول ديگر متكي است (فرض ماركوف (Markov)). اما چنين
فرضي از ديناميك زيربنايي سيستم به دست نيامده بود و شاید، براي همهي
آنها كه تا اين جا را ميدانستند، با آن ديناميك ناسازگار بود.
براي كار بدون چنين فرضي و استنتاجِ میلِ به تعادل از ديناميك زيربنايي
سيستم تلاشهايي صورت گرفته است. از آن جا كه آن ديناميك تحت واروني زمان
ناوردا است و معادلات جنبشي نامتقارن زماني هستند، عدم تقارن زماني را
بايد جايي در نظريهي تبييني قرار داد. يك رويكرد به استنتاج معادلات
جنبشي، بر كاري مبتني است كه نظريهي ارگوديك را تعميم ميدهد. با اتكا بر
ناپايداري مسيرها، نشان ميدهند كه ناحيهاي از نقاط فاز كه ميكروحالتهاي
ممكن را براي سيستمي نشان ميدهد كه در شرايط عدم تعادل آماده شده است،
اگر قيدها تغيير كنند، سرانجام آن ناحیه به سوي مجموعهاي از نقاط فاز
متحول خواهد شد كه «به طور تقریبی» بر روي كل ناحيهي فضاي فازي که قيدهاي
تغييريافته اجازه ميدهند گسترده شده است. بر اساس قضيهاي بنيادي از
ديناميك (قضيهي ليوويل (Liouville\'s theorem)) ناحيهي قديمي نميتواند
ناحيهي جديد را «به طور دقیق» پوشش دهد. اما در شيوهي نخست كه گيبز
توصيف كرده، ميتواند آن ناحيه را به معناي تقریبی پوشش دهد. براي نشان
دادن آن كه مجموعهاي از نقاط به چنين طريقي گسترده خواهند شد (دست كم در
محدودهي زماني نامتناهي)، تلاش ميكنند كه نشان دهند سيستم داراي ويژگي
«كاتورگي» مناسب است. چنين ويژگيهايي، به منظور افزايش شدت [کاتورگی]،
اختلاط ضعيف، اختلاط، سيستم K بودن يا سيستم برنولي (Bernoulli) را شامل
میشوند. رويكردهاي توپولوژيكي ديگر، در مقايسه با اندازهگيري نظري، به
اين مسئله نيز وجود دارد.
طبق معمول بايد نكات احتياطي زيادي را رعايت كرد. آيا ميتوان واقعاً نشان
داد كه سيستم داراي اين ويژگي كاتورهسازي است (مثلاً در پرتوي قضيهي
KAM)؟ آيا نتايج حد زماني نامتناهي به تبيينهاي فيزيكي ارتباطي دارد؟ اگر
نتايج، [نتايج] زمان متناهي باشند، آيا آنها نسبيتي شدهاند یعنی آیا فقط
براي جزءبنديهاي درست سيستم و نه آنهايي كه از نظر تجربي مورد علاقه
هستند، معتبرند؟
مهمتر آن كه اختلاط و نوع آن نميتواند كل داستان باشد. تمام نتايج اين
نظريه متقارن زماني هستند. براي به دست آوردن نتايج نامتقارن زماني و
نتايجي كه در زمانهاي متناهي معتبر باشند و تحول را به شيوهاي نشان دهند
كه معادلهي جنبشي بر روي آن زمانهاي متناهي توصيف ميكند، فرضي هم در
اين مورد لازم است كه احتمال روي ناحيهي نقاطي كه به مثابهي نقاط نمايش
سيستم در لحظهي اوليه مجاز هستند، چگونه توزيع ميشود؟ اين فرض احتمال
بايد چگونه به نظر آيد و آن را چگونه ميتوان توجيه كرد؟
كريلوف اين سؤالات را مطرح و تا حدي بررسي كرد. تلاش براي عقلانيسازي اين
فرض احتمال اوليه از پيشنهاد خود كريلوف مبني بر اين كه اين نتيجهي اصل
«عدم قطعيت» غير كوانتومي است كه از نظر فيزيكي بر نحوهی آمادهسازی
سيستم توسط ما مبتنی است تا اين پيشنهاد را در برميگيرد كه اين نتيجهي
سرشت تصادفي بنيادين جهان است به نحوي كه در رويكرد گيراردي-ريميني-وبر
(Ghirardi-Rimini-Weber) به فهم اندازهگيري در مكانيك كوانتومي توصيف شده است. جایگاه و تبيين فرض احتمال اوليه معماي اصلي مكانيك آماري
غيرتعادلي باقي مانده است. غير از رويكردهاي مبتني بر پديدههاي اختلاط،
رويكردهاي ديگري هم به فهم نزديكي به تعادل وجود دارد. مثلاً اُ. لنفورد
(O. Lanford) نشان داده است كه براي گاز آرماني بينهايت رقيق رفتار بسيار
محتمل گاز را بر اساس معادلهي بولتزمن در فواصل زماني بسيار كوچك ميتوان
نشان داد. در اين جا، تفسير آن معادله از سوي اهرنفست، تفسيري كه براي
رويكرد اختلاط مناسب است، به نفع ايدهي قديميتر معادلهاي كه تحول بسيار
محتمل سيستم را توصيف ميكند كنار گذاشته ميشود. اين استنتاج داراي اين
خاصيت است كه معادلهي بولتزمن را به طور قوي ايجاد ميكند، اما به بهاي
آن كه فقط در مورد سيستم جداً آرماني و آن هم فقط براي مدتي بسيار كوتاه
به كار رود (هر چند نتيجه ممكن است براي مقياسهاي زماني طولانيتر درست،
هر چند اثبات نشده، باشد). يك بار ديگر توزيع احتمال اوليهاي باز هم براي
عدم تقارن زماني لازم است.
5- برگشتناپذيري
اصول ترموديناميك جهاني را ميطلبند كه در آن فرآيندهاي فيزيكي در زمان
پادمتقارن باشند. انتروپي سيستم منزويشده ممكن است به طور خودبخودي رو به
آينده، اما نه رو به گذشته، افزايش يابد. اما قوانين ديناميكي حاكم بر
حركت اجزا ميكروسکوپی، دست كم در ديدگاههاي استانده به آن قوانين به
مثابهي قوانين معمول ديناميك كلاسيكي يا كوانتومي، ناورداي وارون زماني
هستند. وارد كردن عناصر احتمالاتي به نظريهي بنيادين باز هم به خودي خود
توضيح نميدهد كه پادتقارن زماني در كجاي تبيين توضيحي قرار ميگيرد. حتي
اگر به پيروي از ماكسول قانون دوم ترموديناميك را در احكام آن صرفاً
احتمالاتي تلقي كنيم، باز هم پادمتقارن زماني باقي ميماند.
در طول تاريخ اين رشته، پيشنهادهايي حاكي از اين امر مطرح گرديده است كه
قانون ديناميكي عميق و بنياديني خود پادتقارن زماني را در حركت اجزا
ميكروسکوپی وارد ميكند. در پيشنهادهاي ديگر «تداخلِ» عملاً حذفناپذير تأثيرات علّي كاتورهاي از
خارج از سيستم در سيستم، واسطهي تغيير انتروپيك سيستم تلقي ميشود. مثلاً
پنهان داشتن كامل سيستم از تأثيرات ظريف گرانشي از بيرون ناممكن است.
موضوع نقش تداخل خارجي در رفتار به ظاهر خودبخودي آن چه به مثابهي سيستم
منزوي شده آرماني شده، بسيار مورد بحث قرار گرفته است. در اين جا، وجود
سيستمهاي خاص (مانند سيستمهاي اكوي اسپين كه در تشديد مغناطيسي هستهاي
با آن روبرو ميشويم) در برهانها نقش ايفا ميكند، زيرا به نظر مي رسد
اين سيستمها وقتي منزوي هستند ميل خودبخودي به تعادل نشان ميدهند با اين
همه ميتوانند موجب شوند كه رفتار ظاهري انتروپيك آنها با تكانهاي مناسب
از بيرون از سيستم «به عقب حركت كند». به نظر ميرسد اين امر افزايش
انتروپيك را دور از آن نوع دخالت بيرونی كه به راستی نظم اوليهي مستتر در
سيستم را نابود ميكند، نمايش ميدهد. در هر حال دريافتن اين نكته دشوار
است كه چگونه تداخل خارجي كار وارد كردن پادتقارن زماني را انجام ميدهد
مگر آن كه پادتقارن «به طور تعمدي» در ويژهسازي تداخل جاي گيرد.
نخستين كسي كه نوعي جواب «كيهانشناختي» را براي اين مسئله مطرح پيشنهاد
كرد، بولتزمن بود. همان گونه كه در بالا اشاره شد، وي جهاني را مطرح ساخت
كه به طور كلي به تعادل نزديك است و ناحيههاي فرعي «كوچكي» از آن با
اغتشاشهايي از آن حالت دور شدهاند. در چنين ناحيهي فرعياي ما جهان را
دور از حالت تعادل مييابيم. با مطرح ساختن فرضهاي آشناي احتمالاتي
پادمتقارن زماني، محتمل ميشود كه در چنين ناحيهاي حالتهايي با انتروپي
پايين را در يك جهت زماني و حالتهايي با انتروپي بالا را در جهت ديگر
بيابيم. سپس، حل مسئله را با وارد كردن پيشنهاد ديگر بولتزمن تمام ميكنيم
كه مراد ما از جهت آيندهي زمان جهتي از زمان است كه در آن انتروپي افزايش
مييابد.
كيهانشناسي فعلي شاهد جهاني است كاملاً متفاوت از آن چه بولتزمن فرض
كرده بود. تا آن جا كه ما ميتوانيم بگوييم، جهان به مثابهي يك كل و با
افزايش مشابه در انتروپي در آينده و در همه جا، در حالتي به شدت نامتعادل
قرار دارد. اما ساختار كيهان به نحوي كه ما ميشناسيم، راه حل بديلي را
براي مسئلهي منشأ پادتقارن زماني در ترموديناميك ممكن ميسازد. به نظر
ميرسد جهان از نظر فضايي در حال انبساط است و مبدأ آن در حدود ده ميليارد
سال پيش در تكينگي نخستين يعني مهبانگ قرار دارد؛ اما به خودي خود
پادتقارن زماني مورد نياز براي ترموديناميك را فراهم نميسازد، زيرا فيزيك
جهاني در حال انبساط با انتروپي ايستا يا كاهنده را هم میپذیرد. در واقع،
در برخي مدلهاي كيهانشناختي كه در آن جهان پس از انبساط منقبض ميشود،
معمولاً هر چند نه هميشه، فرض شده است كه حتي در دورهی انقباض انتروپي به
افزايش خود ادامه ميدهد.
منبع پادتقارن انتروپيك در حالت فيزيكي جهان در مهبانگ جستجو ميشود.
معمولاً فرض ميشود ماده، «درست پس از» مهبانگ در حالت انتروپي بيشينه
است- در تعادل گرمايي. اما در اين فرض، ساختار «خود فضا» يا، اگر دوست
داريد، شيوهي توزيع ماده در فضا و قرار گرفتن آن در معرض كشش عمومي
گرانشِ تمام ماده براي تمام مادههاي ديگر در نظر گرفته نميشود. جهاني كه
در آن ماده به طور يكنواخت توزيع شده باشد، جهاني با انتروپي پايين است.
حالت انتروپي بالا حالتي است كه در آن خوشهزني ماده را در ناحيههاي چگال
با فضاهاي تهي بسياري كه اين نواحي را از هم جدا ميسازد، ميبينيم. اين
انحراف از چشمداشت معمول- يكنواختي فضايي به مثابهي حالت بالاترين
انتروپي- ناشي از اين حقيقت است كه گرانش، بر خلاف نيروهاي حاكم بر مثلاً
اندركنش مولكولها در گاز، صرفاً نيرويي كششي است.
پس ميتوان براي مهبانگ حالت اوليهي «انتروپي بسيار پايين»، با يكنواختي
فضايي ماده كه «مخزن انتروپي» را تأمين ميكند، را فرض كرد. با انبساط
جهان، ماده از حالت توزيع يكنواخت با دماي يكنواخت به حالتي ميرود كه در
آن ماده به شدت در ستارههاي داغ در محيط فضاي تهي سرد، خوشه بسته است. در
اين حالت با جهانی با عدم تعادل شديد گرمايي که ميشناسيم روبرویيم. پس
«انتروپي پايين اوليه» حالتي در گذشته خواهد بود كه (تا آن جا كه ما
ميدانيم) با هيچ نوع تكينگي انطباقي ندارد، چه رسد به انتروپي پايين در
آينده. اگر كسي آن حالت انتروپي پايين اوليه را شرط كند، با استفاده از
احتمالهاي متقارن زماني مكانيك آماري،
به پيشبيني جهاني ميرسد كه انتروپي آن در زمان افزايش يافته است. البته
اين انتروپي كل جهان نيست كه قانون دوم به آن مربوط ميشود بلكه انتروپي
سيستمهاي «كوچكي» است كه موقتاً از نظر انرژي از محيطهاي خود منزوي
شدهاند. ميتوان به شيوهاي كه، قدمت آن به اچ. رايشنباخ (H.
Reichenbach) ميرسد ادعا كرد كه افزايش انتروپي جهان به مثابهي يك كل،
باز هم با استفاده از فرضهاي معمول احتمالاتي پادتقارن زماني، به احتمال
بالايي منتهي خواهد شد كه افزايش انتروپي «سيستم شاخهاي» كاتورهاي مشابه
با افزايش انتروپي جهان و ديگر سيستمهاي شاخهاي باشد. اغلب برهانهايي
كه در نوشتههاي مختلف آمده و حاكي از آنند كه چنين است، ناقصند، اما با
اين همه استنتاج منطقي است.
فرض انتروپي پايين اوليه براي مهبانگ مجموعهي پرسشهاي فلسفي مخصوص به
خود را مطرح ميسازد: با توجه به احتمالهاي استانده كه در آن انتروپي
بالا به شدت محتمل است، ما چگونه ميتوانيم انتروپي پايين و به طور
بنيادين «نامنتظرِ» حالت اوليه را توضيح دهيم؟ در واقع، آيا ميتوانيم
استدلال احتمالاتي مناسب براي سيستمهاي جهانی را كه ما ميشناسيم به حالت
اوليهي جهان به مثابهي يك كل اعمال كنيم؟ موضوعات اين جا يادآور منازعات
قديمي در بارهي برهان الاهياتي بر له وجود خدا هستند.
6- تقليل (؟) ترموديناميك به مكانيك آماري
جاي شگفتي نيست كه رابطهي نظريهي قديميتر ترموديناميك با مكانيك آماري جديد كه بر آن مبتني است، رابطهاي است تؤام با نوعي پيچيدگي.
نظريهي قديمي براي قوانين خود شرايط احتمالاتي نداشت. اما همان گونه كه
ماكسول به روشني آگاه بود، اگر نظريهي جديد احتمالاتي جهان را به درستي
توصيف ميكرد، پس اين نظريهي قديمي نميتوانست «دقيقاً» درست باشد. يا
ميتوان نظريهي ترموديناميك را به شكل سنتي آن حفظ كرد و رابطهي اصول آن
را با نتايج احتمالاتي جديدتر به دقت توضيح داد، يا ميتوان، همان گونه كه
به طرق عميقاً جالبي انجام شده است، «ترموديناميك آماري» جديدي را ايجاد
كرد كه ساختار احتمالاتي را در نظريهي قديمي وارد ميكند.
از نظر مفهومي، رابطهي نظريهي قديمي با نظريهي جديد رابطهاي است
كاملاً پيچيده. مفاهيم نظريهي قديمي (حجم، فشار، دما، انتروپي) بايد به
مفاهيم نظريهي جديد (ساختمان مولكولي، مفاهيم ديناميكي حاكم بر حركت
اجزاء مولكولي، مفاهيم احتمالاتي كه يا حالتهاي سيستم منفرد يا توزيع
حالتها را روي مجموعههاي تصوري از سيستمهاي موضوع قيدهاي مشترك مشخص
ميسازند) مرتبط ساخت.
يك جملهي نظريهي ترموديناميك مانند «انتروپي» با مفاهيم بسیار و متنوعی
كه در تبيين جديدتر تعريف ميشوند وابسته است. مثلاً انتروپي بولتزمن وجود
دارد كه ويژگي سيستم منفرد است و بر اساس توزيع فضايي و اندازه حرکت
مولكولهاي آن تعريف ميشود. از سوي ديگر انتروپيهاي گيبز وجود دارد كه
ميتوان آنها را بر اساس توزيع احتمال روي مجموعهي سيستمهاي گيبزي
تعريف كرد. براي مثال انتروپي دقیق گيبز وجود دارد كه باز هم بر پيچيدگي
كار ميافزايد و فقط با احتمال مجموعه تعريف ميشود و در مشخصسازي
حالتهاي تعادل بسيار مفيد است و انتروپي تقریبی گيبز كه تعريف آن مستلزم
جزءبندي فضاي فاز در سلولهاي متناهي و توزيع احتمال اصلي است و در
مشخصسازي ميل به تعادل از منظر مجموعه مفهومي مفيد است. علاوه بر اين
مفاهيم كه خصلت اندازهگیری نظري دارند، مفاهيم توپولوژيكي هم وجود دارند
كه ميتوانند نقش نوعي انتروپي را ايفا كنند.
اين پيچيدگي مخالف اين ادعا نیست كه مكانيك آماري
جهان را به طريقي توصيف ميكند كه توضيح ميدهد چرا ترموديناميك كارآمد
است و چنین عمل ميكند. اما پيچيدگي روابط دروني ميان نظريهها بايد
فيلسوف را در استفاده از اين رابطه به مثابهي تقليل بيننظري سادهاي كه
خوب فهميده شده محتاط بسازد.
از نظر فلسفي تا حدي جالب است كه رابطهي ترموديناميك با مكانيك آماري
شباهتي با ويژگيهايي را نشان ميدهد كه در نظريههاي كاركردگرايانهي
رابطهي ذهن- جسم عيان شده است. براي مثال، اين حقيقت را در نظر بگيريد كه
سيستمهايی با ساختارهاي فيزيكي بسيار متفاوت (مثلاً گازي متشكل از
مولكولهايي كه به وسيلهي نيروها اندركنش انجام ميدهند از يك سو و تابش
كه اجزاء تشكيلدهندهي آن طول موجهايي نور هستند كه از نظر انرژي با هم
تزويج شدهاند از سوی دیگر)، ميتوانند در ويژگيهاي ترموديناميكي سهيم
باشند. مثلاً ميتوانند در يك دما باشند. معنای فيزيكي اين امر آن است كه
دو سيستم اگر ابتدا در تعادل باشند و سپس از نظر انرژي تزويج شوند، شرايط
تعادل اوليهي خود را حفظ خواهند كرد. شباهت با اين ادعا كه حالت ذهنياي
را كه به طور كاركردي تعريف شده باشد (مثلاً باور) ميتوان با انواع زيادي
از وسايل فيزيكي مجسم كرد، روشن است.
7. جهت زمان
ديديم كه نخستين كسي كه گفت برداشت ما از جهت آيندهي زمان با جهتي از
زمان تعيين ميشود كه در آن انتروپي در بخشي از جهان كه ما در آن قرار
داريم افزايش مييابد، بولتزمن بود. نويسندگان متعددي اين پيشنهاد را
دنبال كردند و نظريهي «انتروپيك» پادتقارن زمان موضوعي در فلسفهي زمان
باقي مانده كه مورد نزاع فراوان است.
نخست بايد بپرسيم كه نظريه واقعاً چه ادعايي دارد. در روايت معقول نظريه
چنین ادعايي مطرح نميشود كه ما ترتيب زماني رويدادها را با بررسي انتروپي
سيستمها و تلقي آخرين رويداد به مثابهي رويدادي كه در آن سيستم انتروپي
بالاتري دارد، پيدا ميكنيم. بلكه ادعای مطروحه آن است كه حقايق مربوط به
پادتقارن انتروپيك سيستمها در زمان است كه «مبناي» پديدههايي است كه ما
آنها را نشاندهندهي ماهيت پادتقارني خود زمان ميدانيم.
برخي از ويژگيهايي كه پادتقارن زمانی شهودي آنها را ما، شايد،
«تشكيلدهندهي» ماهيت پادمتقارن زمان ميدانيم كداماند؟ پادتقارنهايي
در معرفت وجود دارد؛ ما خاطرات و سوابقي از گذشته، اما نه از آينده،
داريم. پادتقارنهاي تعين وجود دارد؛ ما عليت را از گذشته به حال به آينده
و نه بر عكس روان ميبينيم. پادتقارنهايي در نگراني وجود دارد؛ ما ممكن
است از گذشته پشيمان باشيم اما با نگراني در انتظار آينده هستيم.
پادتقارنهايي هم در «تعيينشدگي» واقعيت وجود دارد؛ گاهي ادعا ميشود كه
گذشته و حال واقعيتي تعيينشده دارند، اما آينده كه عرصهي امكانهاي صرف
است اصلاً چنين تعيينشدگياي ندارد.
نظريهي انتروپيك در پذيرفتنيترين صورتبندي آن ادعايي است مبني بر اين
كه ما ميتوانيم منشأ تمام اين پادتقارنهاي شهودي را با رجوع به حقيقت
پادتقارن انتروپيك جهان توضيح دهيم.
با نگاه به تمثيلي كه بولتزمن به كار برده است ميتوان اين امر را بهتر
درك كرد: تبيين گرانشي از بالا و پايين. مراد ما از جهت پايين در موقعيت
فضايي چيست؟ تمام پديدههايي كه ما به واسطهي آنها به طور شهودي جهت رو
به پايين را ميشناسيم (مثلاً مانند جهتي كه سنگ سقوط ميكند) بر اساس جهت
فضايي نيروي گرانشي موضعي تبيين ميشوند. حتي آگاهي بلاواسطهي ما را از
اين كه كدام جهت پايين است ميتوان بر اساس اثر گرانش بر روي مايع درون
كانالهاي نيمهدايرهای در گوش داخلی مهرهداران (semi-circular canals)
توضيح داد. اصلاً براي ما تعجبآور نيست كه «پايين» در استراليا در جهت
عكس «پايين» در شيكاگو قرار دارد. از اين هم تعجب نميكنيم كه به ما گفته
شود در فضا، دور از شيء گرانشي بزرگي مانند زمين، چيزي به نام تمايز بالا
- پايين و جهتي از فضا كه جهت رو به پايين باشد، وجود ندارد.
نظريهپرداز انتروپيك هم ادعا ميكند كه ويژگيهاي انتروپيك پادتقارنهاي
شهودي فوقالذكر، اين را كه در نواحياي از جهان كه در آنها پادتقارن
انتروپي در زمان در جهت عكس قرار دارد جهت گذشته - آيندهي زمان متضاد
خواهد بود و در ناحيهاي از جهان بدون پادتقارن انتروپي هيچ جهتي از زمان
گذشته يا آينده به شمار نميآيد، توضيح ميدهد.
مسئلهي بزرگي كه باقي ميماند تلاش براي نشان دادن اين است كه پادتقارن
انتروپيك آن قدر تبييني هست كه براي تبيين پادتقارنهاي ديگر كافي باشد
همان گونه كه پادتقارن گرانشي ميتواند تمايز بالا و پايين را تبيين كند.
به رغم نوشتههاي جالب بسيار در اين زمينه، مسئله حلنشده باقي مانده است.
مترجم: ابوالفضل حقیری قزوینی
منبع:
ــ
باشگاه اندیشه ، به نقل از
دائرهالمعارف استانفورد
ــ عكس از:
sissa.it
كتابشناسي
بحث جامعي از اين مباحث در اسكلار 1993 آمده است. رايشنباخ 1956 از نظر
اهميت تاريخي جالب است. بحثي قابل فهم و روزآمد از موضوعات بنيادي در
آلبرت 2000 آمده است. بحث فلسفي بيشتر در گوتمن 1999 آمده است. در پرايس
1999، دفاع جانانهاي از رويكرد انتروپي پايين به پادتقارن زماني صورت
گرفته است. در براش 1965، ترجمهي انگليسي بسياري از مقالات اساسي اصلي
آمده است. براش 1976 بحثي تاريخي از تحول اين نظريه ارائه ميكند. دو اثر
بنيادي كه داراي اهميت بسيار هستند عبارتاند از گيبز 1960 و اهرنفست و
اهرنفست 1959.
• Albert, D., 2000, Time and Chance, Cambridge MA, Harvard University Press.
• Brush, S., ed., 1965, Kinetic Theory, Oxford, Pergamon Press.
• Brush, S., 1976, The Kind of Motion That We Call Heat, Amsterdam, North-Holland.
• Ehrenfest, P. and T., 1959, The Conceptual Foundations of the
Statistical Approach in Mechanics, Ithaca NY, Cornell University Press.
• Gibbs, J., 1960, Elementary Principles in Statistical Mechanics, New York, Dover.
• Guttman, Y., 1999, The Concept of Probability in Statistical Physics, Cambridge, Cambridge University Press.
• Price, H., 1996, Time\'s Arrow and the Archimedean Point, Oxford, Oxford University Press.
• Reichenbach, H., 1956, The Direction of Time, Berkeley, University of California Press.
• Sklar, L., 1993, Physics and Chance: Philosophical Issues in the
Foundations of Statistical Mechanics, Cambridge, Cambridge University
Press
ارسال به شبکه هاي اجتماعی
باکلیک روی ستاره یک امتیازبه این مطلب بده
